マルチレベル分析（回帰）とは、多水準のカテゴリーごとで推定値（偏回帰係数・切片）
が異なるモデルの分析である。以下の式１〜式６に関する説明は、Goldstein（1999・1995）
、Goldstein, etc.（1999）を参考にした。


  従属変数をｙ、独立変数をｘ、切片をａ、傾きをｂ、残差をｅとすると、一般的な回帰

式は以下の式１のように表される（ iは、個人を表し、１〜nの値をとる）。

yi＝a＋bｘi＋ei	                              式１


ここで２レベル（個人レベル−市区町村レベル）のマルチレベルの単回帰分析について考

えてみよう。切片・偏回帰係数にマルチレベルを仮定する。ｙi、ａ、ｂｘi、ｅiの
後の添え字は各市区町村を表す。一般化するときは、これをjで表す（１〜mの値をとる）。

  まずは、個々の地域ごとに回帰式を立てるところから考えてゆく。

yi1＝a1＋b1xi1＋ei1 ,yi２＝a2＋b2xi2＋ei2 , ...,yim＝am＋bmxim＋eim

これを一般化すると式２が得られる。

yij＝aj＋bjxij＋eij 	                    式２

添え字ijは「j番目の市区町村のi番目のサンプル」を表している。
  ａjはj番目の市区町村の切片を表しており、全地点の切片の平均ａと、j番目の市区町
村レベルの残差ujにわけられる。またbjは、j番目の市区町村の
偏回帰係数を表しており、全地点の偏回帰係数の平均ｂと、j番目の市区町村レベルの残
差ｖjにわけられる。

aj＝a＋uj , bj＝b＋vj     		           式３

  式２に、式３を代入すると以下の式４が得られる。

yij＝a＋bxij＋uj＋vjxij＋eij 	                    式４

  a 、uj、eijをbxij やvjxijのようにパラメータと変数を分けて表示するために、
すべての値が１の変数ｘ０を導入する。またパラメータには、
変数xの番号に対応した添え字をつける。さらに残差ではない固
定部分のパラメータはβで表す。

yij=β0x0＋βxij＋u0jx0＋vjxij＋e0ijx0		  式5

  ｘ0、xijの項を整理し、以下のように書き換えよう。

ｙij=β0ijx0＋βjxij
β0ij＝β0＋u0j＋e0ij
βj＝β＋vj                                     式６


u0j、vj、e0ijは、残差のパラメータであり、ランダ

ムパラメータと呼ばれる。それに対しβ0、βは固定パラメータと呼ばれる。

式１では、一般的にOLS（ordinary least square）を用いてパラメータの推定を行なうが

、マルチレベル分析においては、OLSにおけるeの仮定を満たしていないために、その他の

推定方法が用いられる。本稿ではIGLS（iterative generalised least square）を用いて

いる。